导数规则

对数函数的导数：求导规则与应用

对数函数 f(x) = logₐx 的导数为：

``` f'(x) = 1/x ln(a) ```

其中 a 是对数函数的底数（a > 0 且 a ≠ 1）。

证明

使用链式法则：

``` f'(x) = d/dx [logₐx] = d/dx [ln(x)/ln(a)] = (1/ln(a)) d/dx [ln(x)] ```

由于 ln(x) 的导数为 1/x，因此：

``` f'(x) = (1/ln(a)) 1/x = 1/x ln(a) ```

应用

对数函数的导数在微积分的许多应用中都很重要，例如：

求函数的极值：对数函数的导数为 0 的点可以是极大值或极小值。 求积分：对数函数的积分涉及到反导数的应用。 求解微分方程：对数函数的导数可以帮助解决某些类型的微分方程。 优化问题：对数函数的导数可以用于优化涉及对数函数的函数。 概率和统计学：对数函数的导数与对数正态分布和泊松分布等分布相关。

例子

求 f(x) = log₃(x²) 的导数。

``` f'(x) = d/dx [log₃(x²)] = 1/(x²) ln(3) d/dx [x²] = 2x/(x²) ln(3) = 2/x ln(3) ```

练习

1. 求 g(x) = log₅(e^x) 的导数。 2. 找出 h(x) = log₂(x³ + 2x) 的驻点。

结论