引言

等比数列求和公式：理解和应用

等比数列是一种特殊类型的数列，其中每个元素都等于前一个元素乘以一个固定的常数。理解等比数列求和公式对于解决各种数学问题至关重要。

等比数列求和公式

对于一个首项为a、公比为r、项数为n的等比数列，其和Sn可以通过以下公式计算：

``` Sn = a(1 - r^n) / (1 - r) ```

推导

等比数列求和公式可以通过数学归纳法推导出来。对于n = 1，公式显然成立。假设对于n = k，公式成立，即：

``` Sk = a(1 - r^k) / (1 - r) ```

对于n = k + 1，等比数列的和为：

``` Sk+1 = Sk + ar^k ```

将Sk代入此方程，得到：

``` Sk+1 = a(1 - r^k) / (1 - r) + ar^k ```

化简后，得到：

``` Sk+1 = a(1 - r^(k+1)) / (1 - r) ```

这正是n = k + 1时的公式，因此通过数学归纳法证明了等比数列求和公式。

应用

等比数列求和公式在许多数学和现实世界的问题中都有应用，例如：

计算复利中累积的总利息 求出人口增长或衰减的总量 计算几何级数的和

特例

当公比r = 1时，等比数列成为等差数列，其求和公式变为：

``` Sn = n a ```

当公比r < 1时，等比数列是一个收敛数列，其求和公式变为：

``` Sn = a / (1 - r) ```

总结